Корректное написание неофициального названия: Театр оперетты. Верно: премьера мюзикла... в Театре оперетты, пойти на мюзикл... в Театр оперетты.
С большой буквы пишется первое слово полного официального названия. Правильно: Ленинградский театр юношеского творчества (если Ленинградский – первое слово официального названия театра) или ленинградский Театр юношеского творчества (если первое слово официального названия – Театр, а прилагательное ленинградский лишь указывает на географическую принадлежность). Судя по интернет-источникам, первое слово в официальном названии – Театр, следовательно, верен второй вариант.
Корректно: музыкальный театр «Новая опера».
Слово ясли-сад имеет форму мн. числа, и в нем склоняются обе части. Поэтому правильно: детские ясли-сад, Положение о детских яслях-саде, заведующий детскими яслями-садом.
Верно написание строчными буквами, если это нарицательное наименование. В собственном наименовании первое слово пишется с большой буквы: Московский театр эстрады.
В русском языке возможны такие модели: театр «Альфред Жарри», Театр Альфреда Жарри. Важно, чтобы в одном тексте использовался один вариант, а не разные.
Верно с тире: детский сад — партнер.
Вариант театр "Кодак" кажется наиболее удачным (если речь действительно идет о театре).
Верно с прописной буквы: Московский регион.